이화여자대학교 수학과

 
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연구분야소개

원준영

대수 및 산술 기하 연구실

교수진 소개
원준영 교수
원준영 교수
연구 분야
  • Algebraic geometry-birational geometry
  • complex geometry
  • Arithmetic geometry
연구실 소개

대수학 (algebra) 은 기본적으로 다항식(polynomial equation)을 연구하는 학문이다. 어떤 기하학적인 대상, 즉 다양체 (Variety or manifold) 가 극소적으로 다항식의 근의 집합으로 주어지면 이를 대수다양체(algebraic variety)라고 한다.
대수의 방법론으로 기하적 대상의 특징을 연구하고 분류하는데 이는 쌍유리 함수(birational morphism)를 바탕으로 한다. 켈러(kaehler)복소다양체는 3가지 타입(general type, Calabi-Yau , Fano)으로 분류되는데 본 연구는 주로 사형공간(projective space)과 가깝고 사형공간과 쌍유리가 될 수있는(rational variety) Fano 다양체가 주요 연구 대상이다. 뿐만 아니라 기하적인 특성을 이용하여 대수적인 명제를 이끌어내는 연구도 진행중이다.

복소 또는 대수 기하 연구

복소기하 또는 대수기하의 최근 가장 핵심문제중의 하나는 처떤 Fano다양체가 켈러-아인슈타인 계량(kaehler-Einstein metric)을 가지는가 이다. 이 문제는 본래 복소기하나 미분기하에서의 편미분 방정식 monge-ampere equation의 해의 존재성문제에서 기인한다. 하지만 이존재성이 최근 K-안정성(K-stability)라는 완전 대수적 안정성문제와 동치라는 것이 밝혀졌다. 따라서 이 K-안정성을 밝히는 tool인 알파불변량과 델타 불변량(alpha or delta-invariant)라는 대수적 불변량을 측정하여 이를 연구 하고있다. 모든 파노다양체의 켈러-아인슈타인계량의 존재성 분류가 궁극적 목표이다.

산술 기하 연구

유명한 추측중의 하나가 파노다양체의 유리점(rational point)이 잠정적으로 기밀 (potentially dense) 할 것이라는 것이다. potentially dense 라는것은 주어진 대수체(K)에서 정의된 대수다양체의 유리점이 K를 finite extension 하면 기밀한 유리점을 가진다는것으로 본질적으로 정수론의 문제이다. 이 문제를 기하학적 특성을 바탕으로 연구한다.

주요 연구 프로젝트 및 연구 업적
주요 연구 프로젝트 및 연구 업적

Application to Complex and Differential geometry via Algebraic geometry

  • K-stability- Existence of Kaehler-Einstein metric on Fano manifolds
  • Sasaki-Einstein metric on Riemannian manifold- on simply connected 5-dimensional Smale manifold
  • Weighted Fano complete intersection.
  • del Pezzo surfaces
  • alpha invariant, beta-invariant, delta-invariant
주요 연구 프로젝트 및 연구 업적

Arithmatic geometry and existence of additive group action

  • Polar cylinders on Fano variety
  • Potential density of Fanos
  • Flexibility of affine cone of algebraic variety
  • Bombieri-Lang conjecture
주요 연구 논문 (selective list)
주요 연구 논문
  • Simply connected Sasaki-Einstein rational homology 5-spheres (with Jihun Park) Duke Math. J. (2021) 170 (6), 1085-1112.
  • K-stability of smooth del Pezzo surfaces (with Jihun Park) Math. Ann. 372 (2018), no. 3-4, 1239-1276.
  • Asymptotic base loci via Okounkov bodies (with Sung rak Choi, Yoonsuk Hyun, Jinhyung Park) Adv. Math. 323 (2018), 784-810
  • Affine cones over smooth cubic surfaces (with Ivan Cheltsov and Jihun Park), J. Eur. Math. Soc.(JEMS) 18 (2016), no. 7, 1537-1564.